경제학의 가장 기본적인 분석 도구인 콥-더글러스 생산함수의 핵심에는 '대체탄력성 1'이라는 고유한 특징이 자리 잡고 있습니다. 이 글은 콥-더글러스 생산함수의 고유한 특징인 대체탄력성(σ=1)을 심층 분석합니다. 대체탄력성 '1'은 첫째, 요소 투입 비율이 상대 가격 비율 변화에 정비례하여 반응하고, 둘째, 요소 가격 변화와 무관하게 소득분배율이 불변하는 두 가지 핵심적인 결과를 낳습니다. 본문에서는 이러한 특성들을 구체적인 예시와 비용 최소화 및 이윤 극대화 원리에 입각한 수학적 증명을 통해 명확히 규명합니다. ◆대체 탄력성의미 대체 탄력성은 '두 생산요소의 가격 비율이 1% 변할 때, 두 생산요소의 사용량 비율은 몇 % 변하는가?'를 나타내는 지표입니다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다. σ= dln(K/L) ÷ dln(w/r) 여기서,K/L: 자본/노동 투입 비율 (사용량 비율)w/r: 노동/자본 상대 가격 비율 (w=임금, r=자본임대료) 즉, σ는 요소 상대가격비 w/r가 변할 때, 기업이 자본/노동 비율인 K/L을 얼마나 조정하는지를 측정하는 지표입니다. 생산방법을 음식의 레시피로 비유할 때, 대체탄력성은 생산과정의 레시피가 가격변화에 얼마
기술 진보는 자본과 노동의 생산성을 향상시키는 주요 요인입니다. 이러한 기술 진보는 두 가지 축으로 구분할 수 있습니다. 하나는 중립성과 편향성의 축(힉스중립 vs. 편향적 기술진보), 다른 하나는 체화성과 비체화성의 축(체화 vs. 비체화 기술진보)입니다. 그런데 수식의 형태만 보면, 힉스중립 기술진보와 비체화 기술진보는 모두 다음과 같이 동일하게 표현됩니다: Yₜ = A(t) · F(Kₜ, Lₜ) 이 수식은 기술 수준 A(t)가 생산함수 전체에 외생적으로 곱해진 형태입니다. 하지만 이 수식이 동일하다고 해서, 힉스중립 기술진보와 비체화 기술진보를 동일한 개념으로 간주할 수는 없습니다. A(t)가 생산함수 밖에 위치한다고 해서 곧바로 힉스중립이거나 비체화 기술진보라고 단정할 수는 없습니다. 먼저 중립성과 편향성의 관점에서 보면, 기술 진보는 자본과 노동의 생산성을 동일한 비율로 향상시킬 수도 있고, 특정 요소(예: 자본 또는 노동)에 편향적으로 작용할 수도 있습니다. 예를 들어, 업무 프로세스의 전반적 개선은 자본과 노동 모두의 생산성을 높이는 힉스중립적 기술진보입니다. 반면, AI 도입으로 노동의 생산성만 비약적으로 향상되었다면, 이는 노동 편향적 기
디비시아 방식은 경제이론과 높은 정합성을 지닌 방식으로 평가받고 있습니다. 그 근거는 6월4일자 「MFP와 디비시아 지수」기사에서도 간략히 언급된 바 있습니다. “MFP계산에서 디비시아 방식은 ‘요소비용점유율= 한계생산성의 기여율’이라는 경제이론과 일치합니다. 이는 MFP계산에서 디비시아 방식이 생산함수의 이론구조와 정합성을 유지하면서, 각 투입요소의 기여도를 현실적으로 반영할 수 있다는 점에서 의미가 있습니다.” 디비시아지수는 각요소의 비용점유율을 가중치로 삼아 총투입로그변화율을 계산합니다. 주목할 점은, 이 가중치로 사용되는 ‘요소의 비용점유율’이 곧 ‘요소의 생산탄력성’과 일치한다는 사실입니다. 이는 가중치가 요소의 생산에 대한 실질기여도를 반영하고 있음을 의미합니다. 이러한 ‘요소의 비용점유율=요소의 생산탄력성’이라는 등식이 성립하는 것은 생산자가 이윤 극대화를 목표로 하는 합리적 의사결정을 내렸기 때문입니다. 다시 말해 비용점유율을 가중치로 삼는 디비시아 방식의 구조에는 생산자의 합리적 선택(Rational Choice)이 내재되어 있는 겁니다. 따라서 디비시아 지수는 단순한 통계적 평균이 아니라, 생산자 이론과 일관된 경제이론적 기반위에 구축된 분
◆ 생산성과 MFP 생산성은 투입 대비 산출의 효율성을 나타내는 개념으로, 투입물 대비 산출물의 비율로 나타납니다. 예를 들어, 기계 한 단위가 산출물 100개를 만들었는데 공정개선으로 150개를 생산할 수 있다면, 생산성은 50% 증가하게 됩니다. 생산성의 대표적 지표가 다요소 생산성(Multi-Factor Productivity)입니다. MFP는 노동, 자본 또는 노동 자본 중간재등 여러 생산요소의 투입요소를 고려한 총 생산성을 나타내는 지표로, 단순 노동생산성등과 달리 다요소적 효율을 측정합니다. 엄밀히 말하면. MFP는 투입요소의 양적증가를 제외한 생산성 증가분을 의미합니다. 예를 들어 Cobb-Douglas 생산함수 식은 다음과 같습니다. Y = A•K^α•L^(1-α)에서 •Y : 생산량 •K : 자본 •L : 노동 •A :기술수준과 효율성 이 함수를 성장률로 분해하면 이렇습니다. Δln Y = sK•Δln K + sL• Δln L + ΔlnA 총산출량 증가율 = sK•자본투입증가율 + sL•노동투입증가율 + 잔여분의 증가율 •ΔlnY≈ ΔY/Y 총산출량의 로그 변화율 •Δln K, L : 자본, 노동투입량의 로그 변화율•sK sL : 자본과 노동
총산출 기준 다요소생산성(Gross-output based MFP)의 분모는 각 투입 요소의 기여도를 반영한 가중평균 지수입니다. 즉 다요소 MFP의 식은 ‘총산출 MFP(A) = 총산출(Y) / [노동 투입(L^α) × 자본 투입(K^β) × 중간재 투입(M^γ)]’ 으로 정의되며, 이 식은 Cobb–Douglas 생산함수 ‘Y=A×L^α × K^β × M^γ’를 재정리한 것입니다. 여기서 한가지 의문이 생길 수 있습니다. 노동 투입의 단위는 보통 ‘시간’으로, 자본과 중간재 투입은 ‘원’(금액)입니다. 그렇다면 서로 다른 단위를 지닌 요소들을 어떻게 곱할 수 있는지 의문이 들 수 있습니다. 그 해답은 ‘무차원화(Dimensional Homogeneity: 차원 동질성)’에 있습니다. 노동(L), 자본(K), 중간재(M)의 단위가 서로 다르더라도 곱셈이 가능한 것은, 지수(α, β, γ)가 각 단위들을 ‘정규화’하고 MFP(A)가 전체 식의 스케일 역할을 수행하여 단위를 보정하기 때문입니다. 따라서 이질적인 투입요소들도 공통의 무차원 척도로 환원되어 곱해질 수 있는 것입니다. ◆총산출 기준 다요소생산성((Gross-output based MFP) 총산출기준
최근 한국 경제의 저성장이 근본적으로 '생산성 위기'에 기인한다는 진단이 나오고 있습니다. 경제 활력을 되살리는 첫 걸음은 생산성의 기본 개념을 명확히 이해하는 것입니다. 생산성(산출량/투입량)은 투입요소가 단일요소인지 다요소인지에 따라, 단일요소생산성과(Single-Factor Productivity)과 다요소생산성(MFP:Multifactor Productivity)으로 구분됩니다. 다요소생산성은 다시 산출량이 총산출인지 부가가치인지에 따라 총산출기준다요소생산성(Gross-output based MFP)과 부가가치기준 다요소생산성(Value-added based MFP)로 구분됩니다. 여기서 부가가치기준 다요소생산성은 총요소생산성(TFP)과 동일한 개념입니다. 이번 기사에는 생산성의 핵심 개념을 짚은 뒤, SFP와 MFP의 개념을 집중적으로 파악합니다. 다음 기사에는 총산출 기준 MFP와 부가가치 기준 MFP(=TFP)를 정리합니다. ◆ 생산성의 개념 생산성(productivity)은 기업, 국가 경제, 개인 차원에서 중요한 핵심 개념으로, 투입된 자원(input) 대비 얻어진 산출물(output)의 비율을 의미합니다. 즉, 투입된 자원으로부터 얼마나 많
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