총산출 기준 다요소생산성(Gross-output based MFP)의 분모는 각 투입 요소의 기여도를 반영한 가중평균 지수입니다.
즉 다요소 MFP의 식은
‘총산출 MFP(A) = 총산출(Y) / [노동 투입(L^α) × 자본 투입(K^β) × 중간재 투입(M^γ)]’ 으로 정의되며,
이 식은 Cobb–Douglas 생산함수 ‘Y=A×L^α × K^β × M^γ’를 재정리한 것입니다.
여기서 한가지 의문이 생길 수 있습니다.
노동 투입의 단위는 보통 ‘시간’으로, 자본과 중간재 투입은 ‘원’(금액)입니다. 그렇다면 서로 다른 단위를 지닌 요소들을 어떻게 곱할 수 있는지 의문이 들 수 있습니다.
그 해답은 ‘무차원화(Dimensional Homogeneity: 차원 동질성)’에 있습니다.
노동(L), 자본(K), 중간재(M)의 단위가 서로 다르더라도 곱셈이 가능한 것은, 지수(α, β, γ)가 각 단위들을 ‘정규화’하고 MFP(A)가 전체 식의 스케일 역할을 수행하여 단위를 보정하기 때문입니다.
따라서 이질적인 투입요소들도 공통의 무차원 척도로 환원되어 곱해질 수 있는 것입니다.
◆총산출 기준 다요소생산성((Gross-output based MFP)
총산출기준 MFP는 경제 또는 산업이 생산한 총산출(Total Output)을 노동, 자본, 기타 투입 요소로 나누어 산출하는 생산성 지표입니다. 여기서 총산출은 중간투입(원자재, 부품 등)과 부가가치를 모두 포함한 전체 생산 가치를 의미합니다.
생산활동의 효율성을 나타내는 총산출 MFP 공식은 다음과 같습니다.
총산출 MFP(A) = 총산출(Y) / (L^α × K^β × M^γ’)
•Y: 총산출
•L: 노동 투입
•K: 자본 투입
•M: 중간재 투입
•A: 기술효율성
•α,β,γ: 노동·자본·중간재 각각의 생산 탄력성(소득 분배 비율)
이 지표는 Cobb-Douglas 생산함수 ‘Y = A × L^α × K^β × M^γ’를 기반으로 계산되며,
여기서 총산출 MFP (A) = 총산출 / (Y^α × K^β × M^γ’)가 정의됩니다.
따라서 A는 생산함수에서 기술 효율성을 나타내는 스케일링 상수로, 노동·자본·중간재 투입에 의해 설명되지 않는 산출의 잔여 부분을 포착합니다
◆분자: 총산출 Y
총산출(Gross-output)은 기업 또는 산업이 일정 기간 동안 생산한 재화와 서비스의 시장가치 총액을 의미하는 지표로, 부가가치와 달리 생산 활동의 전체 규모를 보여줍니다. 이는 산업연관표(Input-Output Table)등에서 활용되며, 판매가치와 재고 순증가분을 합산한 값으로 계산됩니다.
①총산출의 구성요소
총산출은 생산물의 사용처 관점과 투입물 내역 관점으로 파악될 수 있습니다.
이 두 관점은 산업연관표에 의해 이해될 수 있습니다. 산업연관표란 어떤 산업이 무엇을 얼마나 생산했고 그 생산물을 만들기 위해 무엇이 투입되었는지를 보여주는 표입니다, 결과적으로 각 산업의 총산출은 항상 총투입액과 일치합니다.
1)생산물의 사용처 관점
생산물의 사용처 관점의 총산출식은 ‘총산출=중간수요+최종수요’입니다. 이는 생산된 모든 재화와 서비스, 곧 총산출이 어떻게 배분되었는지를 나타냅니다.
여기서 중간수요란 다른 산업의 투입물(중간재)로 사용된 규모이며, 최종수요는 소비·투자·수출 등 최종 소비가치를 말합니다.
예를 들어, 제분업의 총산출이 1억 원일 때, 이 밀가루는 제과점(중간수요)에 4천만 원, 일반소비자에게 6천만 원이 흘러 들어갔습니다. 따라서 제분업의 총산출(1억원) = 중간수요(6천만 원) + 최종수요(4천만 원)입니다.
2)투입물 내역 관점
투입물 내역 관점의 식은 ‘총투입=중간투입+부가가치’입니다.
여기서 중간투입은 원자재·부품 등 투입 비용이며, 부가가치는 노동 보수·자본 보수·이윤 등 새로 창출된 가치를 말합니다.
예를 들어, 제분업자가 총산출 1억원을 생산하기 위해 중간 투입물인 밀을 5천만 원어치 구매하였다면, 부가가치는 총산출에서 중간투입을 제외한 5천만 원입니다. 이는 노동 및 자본에 대한 대가와 이윤으로 구성됩니다.
따라서 제분업의 총투입(1억 원)=중간투입(5천만 원)+부가가치(5천만 원)입니다.
결국 두 관점 모두 산업연관표에서 확인할 수 있으며, 총산출 = 총투입이 항상 성립합니다.
②총산출의 특징
총산출은 판매 가치와 재고 순증가분을 나타내는 총 측정치(Gross Measure)이지만, 중간 투입(Intermediate Input)의 구매는 포함하지 않습니다. 총산출에서 중간 투입물의 구매를 차감하면 부가가치 측정치가 되기 때문입니다.
’총산출에 중간투입의 구매는 포함하지 않는다‘의 의미를 구체적으로 파악하면 다음과 같습니다.
1)’포함하지 않는다(exclude)‘의 의미
‘총산출에서 중간투입의 구매를 포함하지 않는다’는 표현에서 ‘포함하지 않는다’(exclude)는 특정 항목이나 요소가 어떤 계산, 집계, 분석에서 고려되지 않거나 제외된다는 의미입니다. 다시 말해 해당 항목이 지표계산에 전혀 더해지거나 빼지 않는다는 뜻입니다.
즉 경제학, 특히 국민계정(National Accounts)에서 ‘포함하지 않는다’는 특정 항목의 가치가 지표 계산에서 처음부터 고려되지 않거나 제외되어 있다는 의미입니다.
2) ‘더해지지 않는다’와 ‘빼지 않는다’
‘포함하지 않는다’가 ‘더하지 않는다’는 것과 ‘빼지 않는다’를 의미할 때, 각각의 뜻은 다음과 같습니다.
첫째. ‘더하지 않는다’의 의미입니다.
‘총산출에서 중간 투입(Intermediate Input)의 구매를 포함하지 않는다’는 것은 총산출을 계산할 때, 기업이 생산 과정에서 사용하기 위해 다른 기업으로부터 구매한 물건(중간재)의 가치를 총산출 합계에 넣지 않는다는 뜻입니다.
예를 들어, 한 제과점이 빵을 만들기 위해 밀가루(중간 투입)를 100만 원어치 구매하고, 이 빵을 300만 원에 팔았다면 제과점의 총산출은 최종 판매액인 300만 원입니다. 여기서 총산출을 계산할 때는 구매액 100만원을 300만원에 더하여 총산출울 400만원으로 계산하지 않습니다.
이렇게 중간투입을 총산출합계에 더하지 않는 이유는 (계산에 넣지 않는 것)은 이중 계산을 방지하기 위함입니다. 중간 투입된 밀가루는 이미 밀가루 생산자의 산출에 한 번 포함되어 계산되었습니다. 만약 빵의 산출을 계산할 때 밀가루 가치를 다시 더한다면, 밀가루 가치가 중복으로 계산되기 때문입니다.
둘째, ‘빼지 않는다’는 의미입니다.
‘총산출에서 중간 투입의 구매를 포함하지 않는다’는 것은 총산출을 계산할 때 이미 그 가치가 반영된 중간투입액을 따로 '빼지 않는다'는 의미입니다.
예를 들어, 한 제과점이 밀가루에 300만원, 은행 이자로 100만원, 인건비로 200만원을 지출하여 만든 빵을 1,000만 원에 판매하였다고 가정할 때, 이 빵 가격 1,000만원은 제과점의 총산출이며, 여기에는 빵을 만드는 데 들어간 모든 비용(밀가루, 노동, 대출비용)과 이윤이 포함되어 있습니다.
'총산출'이란 이처럼 생산물의 총가치를 의미하며, 여기에는 중간재인 밀가루의 가치가 이미 반영되어 있습니다. 만약 이 총산출 1,000만원에서 밀가루 구매액 300만원을 제외한다면, 이는 총산출이 아닌 부가가치(700만원)를 계산하는 것이 됩니다.
따라서, ‘총산출에서 중간투입의 구매를 포함하지 않는다’는 말은, 총산출의 정의상 이미 중간투입 가치가 그 안에 포함되어 있으므로 이를 별로로 빼서 계산하지 않는다는 의미를 내포합니다.
◆ 분모:노동 투입 × 자본 투입 × 기타 요소 =L^α × K^β × M^γ
총산출기준 MFP는 총산출액을 투입요소로 나누어 계산되는데, 분모인 투입요소에는 노동, 자본과 중간재 모두가 포함됩니다.
즉 분모의 식은 ‘노동 투입 × 자본 투입 × 기타 요소’= ‘L^α × K^β × M^γ’입니다.
여기서 지수 α, β, γ는 생산탄력성을 나타냅니다. 생산탄력성은 각 생산요소가 1%변할 때 총산출이 몇% 변하는지를 나타냅니다.
◆ 무차원화(Dimensional Homogeneity:차원 동질성)
앞의 분모 식에서 흥미로운 점은 노동(L: 시간), 자본(K: 화폐), 중간재(M: 화폐)처럼 이질적인 단위를 가진 요소들을 곱할 수 있다는 것입니다.
다시말해 콥-더글러스 생산함수 ‘Y = A × L^α × K^β × M^γ’와 같은 경제 모형에서 한 가지 흥미로운 점은, 노동(L: 시간), 자본(K: 화폐), 중간재(M: 화폐)처럼 서로 다른 단위를 가진 투입 요소들을 곱할 수 있다는 것입니다.
그 해답은 생산함수의 ‘무차원화’(Dimensional Homogeneity:차원 동질성)' 원리에 있으며, 기술효율성 계수 A가 여기서 핵심적인 역할을 수행합니다.
먼저, 생산함수의 지수(α, β, γ)는 각 투입 요소의 생산탄력성을 나타내는 무차원 계수(dimensionless coefficients)입니다.
이들은 각 투입 요소의 변화가 총산출에 미치는 상대적 영향을 보여주지만, L^α, K^β, M^γ와 같은 개별 항들은 여전히 원래 투입 단위에 기반한 차원(예: 시간^α, 화폐^β, 화폐^γ)을 유지합니다.
다시말해 노동(L), 자본(K), 중간재(M)가 각각 다른 단위를 가지고 생산탄력성(α, β, γ) 자체는 무차원 값이라 할지라도, 이들이 결합된 항 ‘L^α K^β M^γ’는 여전히 복합적인 단위(예: 시간^α · 화폐^β · 화폐^γ)를 갖습니다.
따라서 생산함수 전체의 차원 동질성을 얻기 위해, 기술효율성 계수 A가 그 역할, 곧 스케일링을 담당합니다.
콥 더글러스 생산함수에서, A를 ‘L^α K^β M^γ’ 항에 곱하면, 생산함수 우변 전체의 단위가 좌변 Y의 단위("원")와 정확히 일치하게 됩니다. 이것이 바로 A의 스케일링(scaling) 역할입니다.
즉, A는 서로 다른 단위를 가진 투입 요소들의 복합적인 기여도(L^α K^β M^γ)를 총산출(Y)과 동일한 경제적 단위(예: "원")로 조정하여, 생산함수 전체의 차원적 일관성을 보장합니다.
여기서 스케일링이란, 이처럼 단위를 조정하여 서로 다른 척도의 값을 일관된 형태로 만드는 과정을 의미합니다.
결론적으로, 콥-더글러스 생산함수에서 서로 다른 단위를 가진 투입 요소들의 곱셈이 경제적으로 의미를 가질 수 있는 이유는, 기술효율성 계수 A가 특정 단위를 가짐으로써 전체 방정식의 차원적 균형을 맞추어주기 때문입니다.
이로 인해 이질적인 단위의 투입물로부터 일관된 단위의 산출물을 도출하는 생산 관계를 타당하게 표현할 수 있게 됩니다.
결국, 콥-더글러스 생산함수에서 서로 다른 단위의 투입 요소들을 효과적으로 결합할 수 있는 것은 기술효율성 계수 A가 전체 방정식의 차원 동질성을 보장하기 때문입니다.
◆무차원화 과정
무차원화 과정의 예를 보이면 다음과 같습니다.
먼저 다요소생산성 A의 정의는 다음과 같습니다.
생산함수 Y = A × L^α × K^β 를 A에 대해 정리하면
A = Y / (L^α × K^β)
따라서 A의 단위는 다음과 같이 정의됩니다.
단위(A)=단위(Y)/ [단위(L)^α × 단위(K)^β]
각 변수의 단위를 다음과 같이 가정하면 이렇습니다.
*Y: 산출, 단위 = “원”
*L: 노동 투입량, 단위 = “시간”
*K: 자본 투입량, 단위 = “원”
이를 바탕으로 A의 단위를 계산하면 다음과 같습니다.
단위(A)=원/[(시간)^α×(원)^β] = 원^ (1−β )× 시간^(−α)
예컨대 α=0.6, β=0.4라면 A는 다음과 같습니다.
단위(A)=원^ 0.6×시간^(−0.6)
이 상태에서는 여전히 단위가 원과 시간으로 나타나 이질적입니다.
따라서 산출 Y가 “원” 단위로 나오도록 해야 합니다. 이러한 스케일링 역할을 MFP(A)가 담당합니다.
즉 단위(A)=원^ 0.6×시간^(−0.6)를 Y=A×L^α×K^β식에 대입하면,
Y=[원^ (1−β) 시간^(−α)] × (시간)^α × (원)^β=원 ^(1−β+β)×시간^(−α+α)=원×시간^0=원
결국, 기술효율성 계수 A가 ‘원^(1−β) × 시간^(−α)’이라는 고유한 단위를 가지기 때문에, 생산함수 Y = A × L^α × K^β는 차원적 동질성을 만족하며 최종 산출 Y를 일관된 "원" 단위로 산출할 수 있는 것입니다.
◆ 총산출기준 A(MFP)계산
A(MFP)=Y/ (L^α × K^β × M^γ )에서
총산출 (Q) = 1,000,000 (천 원)
노동 투입 (L) = 5.5 (천 시간) α=0.35
자본 투입 (K) =720,000 (천 원) β=0.15
중간재 투입 (M)=4,000,000 (천 원) γ=0.50
A= 1,000,000/ [(5.5)^0.35× (720,000)^0.15 ×(4,000,000)^0.50]
노동 기여도 계산:(5.5)^ 0.35≈1.831
자본 기여도 계산:(720,000)^ 0.15≈6.828
중간재 기여도 계산:(4,000,000)^ 0.50 = 2,000
분모 (종합 투입 지수) 계산:1.831×6.828×2,000≈25,000.74
MFP(A) 계산:A= 1,000,000/25,000.74 ≈39.998
이 계산된 MFP 값 A≈40은 주어진 노동, 자본, 중간재 투입량을 얼마나 효율적으로 결합하여 1,000,000천 원의 총산출을 만들어냈는지를 나타내는 기술 효율성 수준입니다. 이 MFP 값이 높을수록, 동일한 투입으로 더 많은 산출을 생산하거나 더 적은 투입으로 동일한 산출을 생산할 수 있다는 것을 의미합니다.
