디비시아 방식은 경제이론과 높은 정합성을 지닌 방식으로 평가받고 있습니다.
그 근거는 6월4일자 「MFP와 디비시아 지수」기사에서도 간략히 언급된 바 있습니다.
“MFP계산에서 디비시아 방식은 ‘요소비용점유율= 한계생산성의 기여율’이라는 경제이론과 일치합니다. 이는 MFP계산에서 디비시아 방식이 생산함수의 이론구조와 정합성을 유지하면서, 각 투입요소의 기여도를 현실적으로 반영할 수 있다는 점에서 의미가 있습니다.”
디비시아지수는 각요소의 비용점유율을 가중치로 삼아 총투입로그변화율을 계산합니다.
주목할 점은, 이 가중치로 사용되는 ‘요소의 비용점유율’이 곧 ‘요소의 생산탄력성’과 일치한다는 사실입니다. 이는 가중치가 요소의 생산에 대한 실질기여도를 반영하고 있음을 의미합니다.
이러한 ‘요소의 비용점유율=요소의 생산탄력성’이라는 등식이 성립하는 것은 생산자가 이윤 극대화를 목표로 하는 합리적 의사결정을 내렸기 때문입니다. 다시 말해 비용점유율을 가중치로 삼는 디비시아 방식의 구조에는 생산자의 합리적 선택(Rational Choice)이 내재되어 있는 겁니다.
따라서 디비시아 지수는 단순한 통계적 평균이 아니라, 생산자 이론과 일관된 경제이론적 기반위에 구축된 분석도구라 할 수 있습니다.
‘요소의 비용점유율=요소의 생산탄력성’이라는 등식은 다음 두 이론적 표현을 통해 도출됩니다:
① 노동의 생산탄력식인 ‘ϵL = MPL× (L/Q)’
② 콥 더글러스 생산함수에서의 분배율 표현인 ‘α = wL/PY’
◆ 증명 1: 일반적인 생산 탄력성 정의를 이용한 접근 → ϵL = MPL× (L/Q)
‘노동의 탄력성=노동비용점유율’의 관계는 요소의 생산 탄력성의 정의에서 출발합니다.
①ϵL = MPL× (L/Q)
먼저 노동의 한계생산성, 즉 노동(L)의 한 단위가 추가될 때 늘어나는 산출량(Q) 식은 다음과 같습니다.
MPL=ΔQ/ΔL
노동의 생산탄력성은 노동투입이 1% 변할 때 산출량이 몇% 변하는가를 나타내며, 다음과 같이 정리됩니다.
ϵL = (ΔQ/L)÷(ΔL/L) = (ΔQ/ΔL)×(L/Q)=MPL× (L/Q)
이 식은 생산탄력성이 한계생산성 MPL과 양의 비례관계를 갖는다는 것을 보여줍니다.
② ϵL = (wL) / (PQ)
다음으로 생산자의 합리적 의사결정인 이윤 극대화 조건을 고려합니다. 합리적인 생산자는 요소를 고용할 때 그 요소의 한계생산물가치(VMPL)가 요소가격(임금 w)과 같아지는 수준까지 투입합니다.
이러한 이윤 극대화 조건은 다음과 같습니다.
VMPL =w → P×MPL =w (여기서 P는 생산물 가격)
이 식을 MPL 에 대해 정리하면:
MPL=w/P
이 최적화 조건의 결과( MPL=w/P)를 위의 생산 탄력성 정의식에 대입하면 다음과 같습니다 :
ϵL =MPL× (L/Q) = (w/p) × (L/Q) =(wL) / (PQ)
다시말해, ϵL = (wL) / (PQ)이므로, 노동의 생산탄력성은 총수입중에서 노동비용이 차지하는 비중, 즉 노동의 비용점유율(Cost Share)과 정확히 일치합니다.
결국, 생산탄력성이 비용 점유율과 같아진다는 이 관계는 ‘한계생산물가치 = 요소 가격(VMPL =w)’이라는 생산자의 최적화 행동을 전제로 합니다. 이로써 디비시아 지수에서 사용되는 가중치가 단순한 회계적 비율이 아니라, 경제이론적으로 정당화된 구조임을 확인할 수 있습니다.
◆증명 2: 콥-더글러스 함수를 이용한 접근 → α = wL/PY
‘노동의 탄력성 = 노동의 비용 점유율’이라는 등식은 콥-더글러스 생산함수에서 정의된 파라미터 α를 통해서도 이론적으로 도출할 수 있습니다.
① α = wL/PY, β=rK/PY
콥 더글러스 생산함수 ‘Y=A• L⌃α• K⌃β’에서 α는 노동의 생산탄력성을, β는 자본의 생산탄력성을 나타냅니다.
이 함수에서 노동의 비용 점유율은 총산출 가치(PY) 중에서 노동비용(wL)이 차지하는 비중으로 계산되며, 다음과 같이 표현됩니다:
α = wL / PY
β = rK / PY
즉, 노동(자본)의 탄력성은 그 요소의 비용 점유율과 정확히 일치하게 됩니다.
②α = wl/PY의 도출과정
α = wl/PY 식은 생산자의 이윤극대화 조건을 통해 도출됩니다. .
•노동의 한계생산물(MPL) = ΔY/ΔL = α•(Y/L)
•완전경쟁시장하에서 이윤극대화 조건:
‘VMPL = MPL • P = w’, ‘노동의 한계생산물가치 = 임금’
주지하듯이, 이 식의 의미는 합리적인 기업은 어떤 생산요소를 추가로 고용하는 데 드는 비용(예: w)과 그 요소가 벌어다 주는 추가 수입(예:VMPL)이 정확히 같아지는 지점까지 요소구입을 늘려 이윤을 극대화한다는 뜻입니다.
앞의 노동의 한계생산물 식을 이윤극대화 조건에 대입하면,
ΔY/ΔL = α•(Y/L), MPL • P = w 이므로,
α•(Y/L) • P= α•(PY/L) =w
α=wL/PY. ‘노동의 탄력성=노동비용점유율’
이로써 α가 노동의 생산탄력성이자 비용 점유율이라는 사실이 수학적으로 확인됩니다. 이는 자본의 경우에도 동일하게 적용되며, β = rK / PY가 성립합니다.
결과적으로, 콥-더글러스 함수에서의 탄력성은 각 요소의 소득분배율이자 비용 점유율로 해석되며, 이는 디비시아 방식의 가중치와 직접 연결됩니다.
◆ 디비시아 방식이 경제이론과 높은 정합성을 보이는 이유
결국 디비시아 지수는 생산자의 이윤 극대화 행태에 의해 결정된 ‘비용 점유율’을 가중치로 사용함으로써, 생산기술의 구조적 특성을 반영합니다.
다시말해 앞에서 도출된 ‘생산탄력성=비용점유율’의 관계는 디비시아 지수가 생산함수 기반의 경제이론과 높은 정합성을 보이는 근거입니다.
우선 ‘노동의 탄력성=노동비용점유율’ 식은 생산자의 합리적 선택, 곧 이윤극대화 조건에서 유도됩니다.
이는 디비시아지수의 가중치가 단순히 수학적 도출이 아니라, 생산자의 최적화행동을 나타내는 구조적 방식임을 뜻합니다. 이런 점에서 디비시아 지수는 경제이론(생산자이론)과 정합성을 이루게 됩니다.
또한 비용 점유율(소득분배율)이 요소별 산출 탄력성과 일치한다는 점은, 디비시아 방식이 생산기술의 구조 정보를 지수 계산에 내포하고 있음을 의미합니다.
즉, 디비시아의 총요소투입증가율 식:
ΔlnY=α•Δln(L) + β•Δln(K)
총요소투입 증가율(로그변화율)= (노동의 소득분배율×노동투입량 증가율) + (자본의 소득분배율 × 자본투입량증가율)
이 식의 가중치인 요소의 소득분배율은 곧 요소의 생산 탄력성을 대리하므로, 요소의 생산에 대한 기여도를 나타내고 있습니다. 이는 디비시아 방식이 생산기술의 정보를 내포하고 있다는 뜻입니다.
결론적으로, 디비시아 지수에서 가중치로 사용되는 ‘비용 점유율’은 생산자의 최적화 행태에 따라 결정되며, 이는 생산 기술의 핵심 특성인 ‘생산 탄력성’과 동일하게 됩니다.
따라서 디비시아 지수는 단지 통계적 평균을 넘어, 경제이론과 깊이 결합된 구조적 분석 도구로 평가받습니다.
■ (참고) α = 노동탄력성 ; 노동의 한계생산물(MPL) = ΔY/ΔL = α•(Y/L)
α=wL/PY의 도출과정에서, α는 노동의 탄력성을 의미하며, 노동의 한계생산물(MPL) = α•(Y/L)라고 했습니다. 각각의 도출과정은 다음과 같습니다.
① α = 노동탄력성
콥 더글러스 생산함수 ‘Y=A• L^α• K^β’에서 α가 노동의 탄력성인 이유는 다음과 같습니다.
어떤 생산요소의 산출 탄력성(ϵ)은 그 요소의 투입량이 1% 변할 때 산출량이 몇 % 변하는지를 나타내는 지표입니다.
노동의 산출 탄력성(ϵL )은 수학적으로 다음과 같이 정의됩니다.
ϵL = (ΔQ/ΔL) • (L/Q)
이 식에서 ΔQ/ΔL는 노동의 한계생산(Marginal Product of Labor, MPL)을 의미합니다.
1단계로 노동의 한계생산, MPL을 계산합니다.
먼저, 콥-더글러스 함수 ‘Y=A• L^α• K^β’ 를 노동(L)에 대해 편미분하여 노동의 한계생산 ΔQ/ΔL를 구합니다.
MPL = ΔQ/ΔL = A(αL^(α−1)K^β =αAL^(α−1)K^β
2단계로 위에서 구한 ΔQ/ΔL를 탄력성 공식에 대입합니다.
ϵL = (ΔQ/ΔL) • (L/Q)
=(αAL^(α−1)K^β) • (L/Q)
정리하면 ϵL = (α⋅Q)/Q
따라서 ϵL = α
②노동의 한계생산물(MPL) = α•(Y/L)
MPL =αAL^(α−1)K^β
Y=A• L^α• K^β → Y/L = A•L^(α−1)K^β
이를 한계생산물에 대입하면, MPL =α(Y/L)
